SUBESPACIOS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Si V es un espacio vectorial, entonces ciertos subconjuntos de V forman por sí

mismos espacios vectoriales bajo la adición vectorial y multiplicación escalar

definida sobre V.

 

Un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio de V, si W es así mismo

un espacio vectorial bajo la adición y multiplicación escalar definidas sobre V. Por

ejemplo, las rectas y planos que pasan por el origen son subespacios de R3.

 

En general, se deben verificar los diez axiomas de los espacios vectoriales para demostrar

que un conjunto W , con la adición y la multiplicación escalar, forma un espacio vectorial.

Sin embargo, si W es parte de un conjunto mayor V del que ya se sabe que es un espacio

vectorial, entonces, no es necesario verificar ciertos axiomas para W, porque se “heredan”

de V. Por ejemplo, no se necesita verificar que u + v = v + u (axioma b)[para recordar esto,

recomendamos revisar el artículo http://eenube.com/index.php/matematicas/algebra-lineal/86-espacios-vectoriales-generales] para W, porque esto se cumple para todos los vectores en V y,

como consecuencia, para todos los vectores en W.

Otros axiomas heredados por W de V son c, g, h, i y j.

 

Por tanto, para demostrar que un conjunto W es un subespacio vectorial de V,

solo es necesario verificar los axiomas a, d, e y f. El siguiente teorema hace ver

que incluso se puede hacer caso omiso de los axiomas d y e.

 

TEOREMA.

Si W es un conjunto de uno o más vectores de un espacio vectorial V, entonces W es un subespacio de

V si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

 

α) Si u y v son vectores en W, entonces u + v está en W.

β) Si k es un escalar cualquiera y u es cualquier vector en W, entonces Ku está en W.

 

A menudo estas condiciones se describen diciendo que W es cerrado bajo

la adición y es cerrado bajo la multiplicación escalar.

 

Si W es un espacio de V, entonces se satisfacen todos los axiomas de los

espacios vectoriales; en particular, se cumplen los axiomas a y f.

Pero éstas son precisamente las condiciones α y β. Recíprocamente, suponga que se

cumplen las condiciones α y β. Como estas condiciones son los axiomas a y f de los

espacios vectoriales, sólo se necesita demostrar que W satisface los ocho axiomas restantes.

Los axiomas b, c, g, h, i y k son satisfechos automáticamente por los vectores en

W, dado que son satisfechos por todos los vectores en V.

Por tanto, para completar la demostración, basta con verificar que los

axiomas d y e son satisfechos por W.

Sea u cualquier vector en W. Por la condición β, ku está en W para todo escalar k.

Al hacer k = 0, se deduce que 0u = 0 está en W, y al hacer k = -1, se concluye

que (-l)u = -u está en W. Δ

 

Todo espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios. El propio V es un

subespacio y el conjunto {0} que sólo consta del vector cero en V es otro subespacio

denominado subespacio cero.

 

 

Ejemplo.

Sea W cualquier plano que pasa por el origen y suponga que u y v son vectores

cualesquiera en W. Entonces u + v debe estar en W porque es la diagonal del

paralelogramo determinado por u y v, y ku debe estar en W, para cualquier

escalar k, porque ku está sobre una recta que contiene a u. Por tanto, W es un

subespacio de R3.

 

Observemos que puede aplicarse un argumento geométrico, como el de este ejemplo,

para demostrar que las rectas que pasan por el origen son subespacios de R3.

Es posible demostrar que los únicos subespacios de R3 son: {0}, R3, las rectas que

pasan por el origen y los planos que pasan por el origen. También, los únicos subespacios

de R2 son: {0}, R2 y las rectas que pasa por el origen.

 

Ejemplo

Sea n un entero positivo y suponga que W consta de la función cero y de todas las

funciones polinomiales que tienen un grado ≤n; esto es, todas las funciones

expresadas en la forma

 

p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn (a)

 

En donde a0, . . . , an son números reales. El conjunto W es un subespacio vectorial

de todas las funciones con valor real; para ver esto, sean p y q los polinomios

 

p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn

y

q(x) = b0 + b1x + . . . +bnxn

Entonces:

(p + q)(x) = p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . . + (an + bn)xn

y

(kp)(x) = kp(x) = (ka0) + (ka1)x + . . . + (kan)xn

 

tienen la forma dada en el modelo (a). Por lo tanto, p + q y kp están en W. El espacio

vectorial W de este ejemplo se denota por el símbolo Pn.

 

Un ejemplo más

Quienes hayan estudiado Cálculo

Recuerde lo aprendido en cálculo, que si f y g son funciones continuas y k es una

constante, entonces f + g y kf son funciones continuas.

Se concluye que el conjunto de todas las funciones continuas es un subespacio del espacio

vectorial de todas las funciones con valor real. Este espacio se denota por C(-∞, +∞). Un

ejemplo íntimamente relacionado es el espacio vectorial de todas las funciones que son continuas

sobre un intervalo cerrado a ≤ x ≤ b. este espacio se denota por C [a, b].

 

 

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