Espacios vectoriales

generales.

 

 

En este artículo se generaliza aún más el concepto de vector. Se enuncia un conjunto de

axiomas que si son satisfechos por una clase de objetos, a estos objetos se les da el nombre

de “vectores”. Los axiomas se eligen por medio de la abstracción de las propiedades más

importantes de los vectores en Rn; como consecuencia, los vectores en Rn automáticamente

satisfacen estos axiomas. Por lo tanto, este nuevo concepto de vector incluye tanto a los

que se dieron con anterioridad como a muchas nuevas clases de vectores.

 

Definamos algo primero.

Sea V un conjunto arbitrario de objetos sobre los cuales se definen dos

operaciones, la adición y la multiplicación por escalares (números reales como siempre hemos quedado).

Por adición o suma se entiende una regla para asociar, con cada pareja de objetos u y en V,

un elemento u + v, llamado suma de u y v,

 

Por multiplicación o producto escalar k y cada objeto u en V, un elemento ku, llamado

múltiplo escalar de u por k.

Si los axiomas siguientes son satisfechos por todos los objetos u, v, w en V y todos os escalares k y l, entonces V recibe el nombre de espacio vectorial y los objetos en V se les denomina vectores.

 

AXIOMAS

 

a) Si u y v son objetos en V, entonces u + v está en V.

b) u + v = v + u

c) u + (v + w) = (u + v) + w

d) Existe un obgeto 0 en V tal que 0 + u = u + 0 = u para todo u en V.

e) Para cada u en V, existe un obgeto -u en V, conocido como negativo de u, tal que u + (-u) = (-u) + u = 0

f) Si k es cualquier número real y u es cualquier objeto en V, entonces ku está en V.

g) k(u + v) = ku + kv

h) (k + l)u = ku + lu

i) k(lu) = (kl)(u)

j) 1u = u

 

El vector 0 del axioma d) se conoce como vector cero para V.

Para algunas aplicaciones es necesario considerar espacios vectoriales en

 

los que los escalares son números complejos (Los números conforman un grupo de cifras resultantes de

la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser

expresado por un número entero (2, 19, 2016) o decimal (1.25, 18.1234, 32258.3333). En cambio, un número imaginario es

aquél cuyo cuadrado es negativo) en lugar de números reales. Tales espacios vectoriales se conocen como

espacios vectoriales complejos. Sin embargo, en este artículo, todos los escalares que se utilicen serán reales.

 

 

 

Recuerde, usted como lector debe tener presente, que en la definición de espacio vectorial, no se especifica

la naturaleza de los vectores ni las operaciones. 

Cualquier clase de objetos que se desee puede servir como vectores; todo lo

que se requiere es que se satisfagan los axiomas de los espacios vectoriales. Los ejemplos que siguen dan cierta idea de la diversidad de espacios vectoriales posibles.

 

 

El conjunto de V = Rn, con las operaciones estándar de adición y multiplicación escalar

definidas anteriormente, es un espacio vectorial, pues cumple con los axiomas antes descritos.

Los axiomas a y f se deducen de las definiciones de las operaciones estándar sobre Rn;

los axiomas restantes se deducen del teorema 1, definido en el artículo anterior (Producto

Punto en Espacio Euclidiano

http://eenube.com/index.php/matematicas/algebra-lineal/85-producto-punto-en-el-espacio-euclidiano).

 

 

Sea V cualquier plano que pasa por el origen en R3. A continuación

demostraremos que los puntos en V forman un espacio vectorial bajo las

operaciones estándar de adición y multiplicación escalar para vectores en

R3.

 

Por lo que vimos en el ejemplo anterior, sabemos que el propio R3 es un

espacio vectorial bajo estas operaciones. Por lo tanto, los axiomas b, c, g,

h, i y j se cumplen para todos los puntos en R3 y, como consecuencia, para

todos los puntos en el plano V. Por consiguiente, solo es necesario

demostrar que se satisfacen los axiomas a, d, e y f.

 

Suponiendo que el plano V pasa por el origen, tiene una ecuación de la forma:

 

ax + by + cz = 0

 

Por lo tanto, si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) son puntos en V, en donde

au1 + bu2 + cu3 = 0. Al sumar estas ecuaciones resulta:

 

a(u1 + v1) + b(u2 + v2) + c(u3 + v3) = 0

 

En esta igualdad se afirma que las coordenadas del punto

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)

satisfacen que ax + by + cz = 0, Por lo tanto u + v se encuentra en el plano V. Esto prueba

que satisface el axioma 1. Al multiplicar toda la expresión au1 + bu2 + cu3 = 0 por -1 da:

 

a(-u1) + b(-u2) + c(-u3) = 0

 

Como consecuencia, -u = (-u1, -u2, -u3) está en V. Eso establece el axioma e

(Para cada u en V, existe un obgeto -u en V, conocido como negativo de u, tal que

u + (-u) = (-u) + u = 0).

 

Los puntos de la recta V que pasa por el origen en R3 forman un espacio vectorial

bajo las operaciones estándar de adición y multiplicación escalar para los vectores en R3.

 

El argumento es semejante al que se usó en el ejemplo que acabamos de ver y se basa

en el hecho de que los puntos de V satisfacen ecuaciones paramétricas de le la forma:

 

x = at

y = bt -x < t < +x

z = ct

 

Veamos otro ejemplo. El conjunto V de todas las matrices de m x n con elementos reales, junto

con las operaciones de adición matricial y

multiplicación escalar, es un espacio vectorial. La matriz cero de m x n es

el vector cero 0,

si y solo si u es la matriz de A de m x n, entonces la

matriz -A es el vector -u del axioma e (Para cada u en V, existe un objeto

-u en V, conocido como negativo de u, tal que u + (-u) = (-u) + u = 0). La

mayoría de los axiomas restantes se satisfacen en virtud del teorema b el

cual dice:

Teorema b:

Suponiendo que los tamaños de ls matrices son tales que es posible

efectuar las operaciones indicadas, son válidas las reglas que siguen e la

aritmética matricial:

 

a) A + B = B + A

b) A+ (B + C) = (A + B) + C

c) A(BC) = (AB)C

d) A(B + C) = AB + AC

e) (B + C)A = BA + CA

f) A(B – C) = AB – AC

g) (B – C)A = BA – CA

h) a(B – C) = Ab – aC

i) a(B – C) = aB – aC

j) (a + b)C = aC + bC

k) (a – b)C = aC – bC

l) (ab)C = a(bC)

m) a(BC) = (aB)C = B(aC)

Este espacio vectorial se denota por el símbolo Mmn.

 

Un ejemplo más. Sea V el conjunto de las funciones con valor real

definidas sobre la recta real. Si f = f(x) y g = g(x) son dos funciones y k es

cualquier número real, se define la función suma f + g y el múltiplo

escalar hf por:

 

(f +g)(x) = f(x) + g(x)

(kf)(x) = kf(x)

 

Dicho de otra manera, el valor de la función f + g en x se obtiene al sumar

los valores de f y g en x.

De manera similar, el valor de kf en x es k

multiplicada por el valor de f en x. El conjunto V es un espacio vectorial

bajo estas operaciones.

El vector cero en este espacio es la función constante cero, es decir, la

función cuya gráfica es una recta horizontal que pasa por el origen.

 

 

Veamos otro ejemplo.

 

Sea V el conjunto de todos los puntos (x, y) en R2 que se encuentran en el

primer cuadrante; es decir; tales que x ≥ 0 y y ≥ 0. El conjunto V no es un

espacio vectorial bajo las operaciones estándar sobre R2, puesto que no se

satisfacen los axiomas e y f.

Para ver esto observe que v = (1 ,1)

está en V, pero (-1)v = -v = (-1, -1) no lo está.

 

 

Ejemplo.

Suponga que V consta de un solo objeto, se cual se denota por 0, y se

define por:

 

0 + 0 = 0

k0 = 0

 

Para todos los escalares k. Con esto se comprueba con facilidad que se

satisfacen todos los axiomas de los espacios vectoriales. A este espacio se

le da el nombre de espacio vectorial cero.

A medida que se avance, se agregan a la lista más ejemplos de espacios

vectoriales.

Concluiremos con otro teorema que da una lista útil de propiedades de los

vectores.

 

Teorema 3.

Sea V un espacio vectorial, u un vector en V y k un escalar;

entonces:

 

a) 0u = 0

b) k0 = 0

c) (-1)u = -u

d) Si ku = 0, encontes k = 0 o bien, u = 0.

 

Probemos los incisos a y c, los demás, como un ejercicio propio, puede demostrarlos.

 

a Se puede escribir

0u + 0u = (0 + 0)u (Axioma h)

= 0u (Propiedad del número 0)

 

Por el axioma e, el vector 0u tiene un negativo, -0u. Al sumar este

negativo a los demás miembros de la expresión anterior obtenemos:

 

                                 [0u + 0u] + (-0u) = 0u + (-0u)

o bien:

                               0u + [0u + (-0u)] = 0u + (-0u) (axioma c)

 

o bien:

0u + 0 = 0 (axioma e)

 

o bien:

0u = 0 (axioma d)

 

 

Para demostrar que (-1)u = -u, debe demostrarse que u + (-1)u = 0.

A fin de ver que esto es cierto, observe que:

 

u + (-1)u = 1u + (-1)u (axioma j)

= (1 + (-1))u (axioma h)

= 0u propiedad de los números)

= 0 (inciso a anterior)

 

 

 

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