Producto punto

 

en el Espacio Euclidiano

 

 

 

n Dimensional.

 

En el siguiente teorema mostramos las cuatro propiedades aritméticas

principales del producto euclidiano interior:

 

Teorema b.

Si u, v, y w son vectores en Rn y k es un escalar cualquiera, entonces:

 

a) u · v = v · u

b) (u + v) · w = u ·w + v · w

c) (ku) · v = k(u · v)

d) v · v ≥ 0. Además, v · v = 0 si y solo si v = 0

 

sean u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn) y w = (w1, w2, . . . , wn) entonces:

 

(u + v) · w = (u1+v1, u2+v2, . . . , unvn) · (w1, w2, . . . , wn)

= (u1+v1) w1 + ( u2+v2)w2 + . . . +(unvn)wn

= u1w1 + u2w2 + . . . + unwn) + (v1w1 + v2w2 + . . . + vnwn)

= u · w + v · w

 

v · v = v12 + v22 + . . . + vn2 0. Ademas, la igualdad se cumple si y solo

si v1 = v2 = . . . = vn = 0; es decir, si y solo si v = 0.

 

 

Ejemplo.

 

El teorema b permite efectuar los cálculos con los productos euclidianos

interiores casi de la misma manera como se efectúan los productos aritméticos ordinarios. Por ejemplo:

 

(3u + 2v) · (4u + v) = (3u) · (4u + v) + (2v) · (4u + v)

 

= (3u) · (4u) + (3u) · v + (2v) · (4u) + (2v) · v

 

= 12(u · u) + 3(u · v) + 8(v · u) + 2(v · v)

 

Con lo estudiado hasta ahora usted debe poder determinar cuales incisos

del teorema b se aplicaron en cada paso, para llegar a esta conclusión.

Por analogía con las conocidas fórmulas en R2 y R3, se define la norma

euclidiana (o longitud euclidiana) de un vector u = (u1, u2, . . . , un) en Rn

 

por:

 

 

Producen los mismos resultados que las operaciones vectoriales

 

u + v = (u1, u2, … , un) + (v1, v2, … , vn) = (u1+v1, u2+v2, … , un+vn)

ku = k(u1, u2, … , un) = (ku1, ku2, … , kun)

 

La única diferencia es que, en uno dssde los casos, los resultados se presentan

verticalmente, mientras que en el otro se presentan en forma horizontal.

En diversas ocaciones se usarán las dos notaciones. Sin embargo, de aquí

en adelante, las matrices n x 1 las denotaremos mediante letras negritas

minúsculas. Entonces, un sistema d ecuaciones lineales lo escribiremos de

la siguiente forma:

 

Ax = b

 

En lugar de AX = B como antes.

 

Esto para simplificarnos la notación en futuros artículos.

 

 

<ZEUS>

Share This