Espacio Euclidiano

 

n Dimensional

La idea de usar parejas de números para localizar puntos en el plano y

ternas para localizar puntos en el espacio tridimensional se concibió por

primera vez con claridad a mediados del siglo XVII. A fines del siglo

XIX, matemáticos y físicos comenzaron a darse cuenta que no era

necesario quedarse en las ternas (conjunto de los tres planos). Se

reconoció que los conjuntos ordenados de cuatro números (a1, a2, a3, a4) se

podían considerar como puntos en el espacio “tetradimensional”, los

conjuntos ordenados de cinco números (a1, a2, a3, a4, a5) como puntos en el

espacio “pentadimensional”, etc.

Aún cuando la concepción geométrica no se extiende más allá del espacio

tridimensional, es posible extender muchas ideas conocidas más allá de tal

espacio, trabajando con propiedades analíticas o numéricas de puntos y

vectores, en lugar de las propiedades geométricas En este artículo

veremos mas de estas ideas.

 

Si n es un número positivo, entonces una n-ada ordenada es una sucesión

de n números reales (a1, a2, a3, . . . , an). El conjunto de todas las n-adas

ordenadas se conoce como espacio n dimensional y se denota por Rn.

 

Cuando n = 2, o bien, 3, es común usar los termino “pareja ordenada” y “terna ordenada” en lugar de

2-ada y 3-ada ordenadas. Cuando n = 1, cada n-ada ordenada consta de un número real y, por tanto,

R1 se puede concebir como el conjunto de los números reales. Para este

conjunto, es común escribir R en lugar de R1.

Es posible que usted haya encontrado, en el estudio del espacio

tridimensional, que el símbolo (a1, a2, a2) tiene dos interpretaciones

geométricas diferentes. Puede interpretarse como un punto, en cuyo caso

a1, a2 y a3 son las coordenadas (como se ve en la figura) o se puede interpretar como un vector, en cuyo caso

a1, a2 y a3 son las componentes.

 

Por tanto, se concluye que una n-ada ordenada (a1, a2, . . . , an) se puede concebir como un “punto

generalizado” o como un “vector generalizado”, claro, desde el punto de vista matemático, la distinción no

tiene importancia. Por consiguiente, tenemos libertad de describir la 5-ada (-2, 4, 0, 1, 6) como un punto en

R5 o como un vector en R5. Haremos uso de ambas descripciones.

 

 


Se dice que dos vectores u = (u1, u2, . . . , un) y v = (v1, v2, . . . , vn) en

Rn son iguales si

 

u1 = v1, u2 = v2, . . . ,un = vn

 

La suma u + v se define por:

 

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)

 

si k es cualquier escalar, el múltiplo escalar ku se define por

 

ku = (ku1, ku2, . . . , kun)

 

Las operaciones de adición y multiplicación escalar dadas en esta definición se denominan

operaciones estándar sobre Rn

 

Se define el vector cero en Rn como el vector:

 

0 = (0, 0, . . . , 0)

 

Si u = (u1, u2, . . . , un) es un vector cualquiera en Rn, entones el negativo o inverso aditivo)

de u se denota por -u y se define por:

 

-u = (-u1, -u2, . . . , -un)

 

Se define la sustracción de vectores en Rn por v – u = v + (-u) o , en términos de las componentes:

 

v – u = v + (– u) = (v1, v2, . . . , vn) + (-u1, -u2, . . . , -un)

= (v1 – u1, v2 – u2, . . . , vn – un)

 

 

En el teorema que sigue se muestran las propiedades aritméticas mas importantes de la

adición y la multiplicación escalar de vectores en Rn.

 

Teorema a.

Si u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn), w =(w1, w2, . . . , wn) son vectores en

Rn, y k y l son escalares, entonces:

 

a) u + v = v + u

b) u + (v + w) = (u +v) + w

c) u + 0 = 0 + u = u

d) u + (– u) = 0, es decir, u – u = 0

e) k(lu) = (kl) u

f) k (u + v) = ku + kv

g) (k + l)u = ku + lu

h) 1u = u

 

Con este teorema se pueden manipular los vectores en Rn sin expresarlos

en términos de componentes, casi de la misma manera como se manipulan

los números reales. Por ejemplo, para despejar x en la ecuación vectorial

x + u = v, se puede sumar -u a ambos miembros y proceder de la siguiente

forma:

 

(x + u) + (– u) = v + (– u)

x + (u – u) = v – u

x + 0 = v + u

x = v – u

 

EL lector encontrará de utilidad nombrar los incisos del teorema a que

justifiquen cada uno de los pasos de este cálculo.

 

A fin de extender las nociones de distancia, norma y ángulo hacia Rn,

comenzamos con la generalización siguiente del producto escalar sobre R2

y R3.

 

Definición:

Si u = (u1, u2, . . . , un) y v = (v1, v2, . . . , vn) son vectores cualesquiera en

Rn, entonces el producto euclidiano interior u · v se define por:

 

u · v = u1 v1 + u2v2 + . . . + unvn

 

Observe que cuando n = 2 o bien 3, el producto euclidiano inteior es el

producto escalar ordinario.

 

Ejemplo:

 

El producto euclidiano interior de los vectores en R4 es:

 

u = (–1, 3, 5, 7) y v = (5, –4, 7, 0)

 

u · v = (–1)(5) + (3)(–4) + (5)(7) + (7)(0) = 18

 

 

 

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