PLANOS.

 

Ahora en este artículo mostraremos cómo obtener ecuaciones para la recta en el espacio tridimensional.

Suponga que I es la recta en el espacio tridimensional que pasa por el punto P0(x0, y0, z0) y es paralela al vector diferente de cero v = (a, b, c). Es obvio que I consta precisamente de aquellos puntos P (x, y, z) para los que el vector P0P es paralelo a v, es decir, para los cuales existe un escalar t tal que:

P0P = tv

 

En términos de componentes se puede escribir:

 

(x - x0, y - y0, z – z0) = (ta, tb, tc)

 

 

 

En términos de componentes se puede escribir:

 

(x - x0, y - y0, z – z0) = (ta, tb, tc)

Estas ecuaciones se denominan paramétricas para l, ya que P (x, y, z)

recorre la recta l a medida que el parámetro t varía de -∞ a +∞.

 

Ejemplo 1

La recta que pasa por el punto (1, 2 ,-3) y es paralela al vector

v = (4, 5 , -7) tiene las ecuaciones paramétricas:

x = 1 + 4t

y = 2 + 5t en donde -∞ < t < +∞

z = -1 – 8t

 

Ejemplo 2

 

a) Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta l por los puntos

P1( 2, 4, -1) y P2(5, 0, 7). ¿En dónde se interseca la recta con el plano xy?

 

Ya que e vector P1P2 = (3, -4 , 8) es paralelo a l y P1 (2, 4 ,-1) está sobre l, la recta l está dada por:

 

x = 2 + 3t

y = 4 – 4t en donde -∞ < t < +∞

z = -1 + 8t

 

La recta se interseca con el plano xy en el punto en que el z = -1 + 8t = 0;

es decir, cuando t = ⅛. Al sustituir este valor en t en las ecuaciones

paramétricas para l se obtiene como punto de intersección:

 

(x , y, z) = (19/8 , 7/2 , 0)

 

Ejemplo 3

 

Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los

planos:

 

3x + 2y – 4z -6 = 0 y x – 3y – 2z - 4 = 0

Entonces:

La recta de intersección consta de todos los puntos (x , y, z) que satisfacen

las dos ecuaciones del sistema:

 

3x + 2y – 4z = 6

x – 3y – 2z = 4

 

Al resolver este sistema se llega a :

 

x = 26/11 + 16t/11

y = -6/11 – 2t/11

z = t

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas para l son:

 

x = 26/11 + 16t/11

y = -6/11 – 2t/11 en donde -∞ < t < +∞

z = t

 

En algunos problemas, se da una recta:

(α)

x = x0 + at

y = y0 + bt en donde -∞ < t < +∞

z = z0 + ct

 

Y si tiene interés en encontrar los dos planos cuya intersección se a la recta dada, Supuesto que existe una infinidad de planos que pasan por la recta, siempre se tiene una infinidad de pares de esos planos Para encontrar dos de esos planos, cuando a, b y c son todas diferentes de cero, se puede volver a escribir cada ecuaciones dada en (α) en forma:

 

 

 

 

 

 

< ZEUS >

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