Rectas y planos en en

el espacio

 

tridimensional.

 

En esta ocasión, en este artículo usaremos los vectores para

deducir ecuaciones de rectas y

planos en el espacio tridimensional. A su vez, usaremos estas ecuaciones

para resolver algunos básicos de la geometría.

 

En geometría analítica en el plano, se puede especificar una recta al dar su

endiente y uno e sus puntos, Análogamente, es posible determinar un

plano en el espacio tridimensional al dar si inclinación especificar un vector (llamado normal) que sea perpendicular al plano.

 

Suponga que se desea la ecuación del plano que pasa por el punto

P0(x0, y0, z0) y que tiene como normal al vector n = (a, b, c). Es evidente,

en la figura que el plano consta precisamente de aquellos puntos

P = (x, y, z) para los cuales el vector P0P es ortogonal a n; es decir, para los que

 


Veamos ahora un ejemplo:

Encuentre la ecuación que pasa por el punto (3, -1, 7) y es perpendicular al vector n = (4, 2, -5)

 

Por la expresión (b), una forma de punto-normal es

 

4(x - 3) + 2(y +1) - 5(z – 7) = 0

 

El realizar las operaciones pertinentes y agrupar los términos, se puede escribir en la forma:

 

ax + by + cz + d = 0 → (c)

 

En donde a, b, c y d son constantes y a, b y c no son todas cero. Como ilustración, la ecuación del ejemplo

15 se puede escribir como

 

4x + 2y – 5z + 25 = 0

 

Según lo indica el teorema siguiente, toda ecuación que tiene la forma de (c) representa un

plano en el espacio tridimensional.

 

TEOREMA :

Si a, b, c y d son constantes, y a, b y c no son todas cero, entonces la gráfica de la ecuación

ax + by + cz +d = 0

es un plano que tiene al vector n = (a, b, c) como normal.

 

Por hipótesis a, b y c no son todas cero, suponga, por el momento que

a 0. Entonces la ecuación ax + by + cz + d = 0 se puede volver a escribir como

a(x + (d/a)) + by + cz = 0. Pero es una forma-punto normal del plano que pasa por el

punto ( -d/a, 0, 0) y que tiene a n = (a, b, c) como normal.

 

Si a = 0, entonces b ≠ 0, o bien c ≠ 0. Con una modificación del argumento dado se

manejarán estos otros casos.

La ecuación (c) es una ecuación lineal en x, y y z; esta ecuación se conoce como

forma general de la ecuación de un plano.

 

Del mimo modo como las soluciones a un sistema de ecuaciones lineales

 

ax + by = k1

cx + dy = k2

 

Corresponden a dos puntos e intersección de las rectas ax + by + cz = k1, dx + ey + fz = k2

en el plano xy, las soluciones de un sistema

 

ax + by + cz = k1

dx + ey + fz = k2

gx + hy + iz = k3

(d)

 

 

corresponden a los puntos de intersección de los planos ax + by + cz = k1

dx + ey + fz = k2 gx + hy + iz = k3

 

En la siguiente figura se han ilustrado algunas de las posibilidades geompetricas cuando (c)

tiene cero, una o una infinidad de soluciones.

 

 

 

 

Ejemplo.

 

Ecuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos P1(1, 2, -1),

P2(2, 3, 1) y P3(3, -1, 2).

 

Debido a que los tres puntos se encuentran en el pano, sus coordenadas

deben satisfacer la ecuación general ax + by + cz +d = 0 del propio plano.

 

a + 2b – c +d = 0

2a + 3b + c + d = 0

3a – b + 2c + d = 0

 

al resolver el sistema quedan los resultados:

 

a = -9/16 t b = -1/16 t c = 5/16 t d = t

 

Al hacer t = -16, por ejemplo se llega a la ecuación deseada:

 

9x + y - 5z – 16 = 0

 

Se observa que cualquier otra elección de t da un múltiplo de esta ecuación, de modo que

cualquier valor de t 0 sería igualmente apropiado.

 

 

 

 

 

<ZEUS>

Share This