EVALUACIÓN DE

 

DETERMINANTES POR

 

REDUCCIÓN DE RENGLONES II

 

La primer proposición del teorema γ del artículo previo tiene una

interpretación alternativa que aveces es muy útil. Este resultado permite

extraer un "factor común" de cualquier renglón de una matriz cuadrada

hacia afuera del signo de determinante. Como ejemplo considere las

matrices:

 

Ahora se plantea un método alternativo para evaluar los determinantes,

que evita gran cantidad de cálculos relacionados con la aplicación directa

de la definición de determinante. La idea básica es aplicar las operaciones

elementales sobre los renglonesa fin de reducir la matriz dada A hacia

una matriz R que esté en forma escalonada en los renglones. Puesto que

una forma escalonada en los renglones de una matriz cuadrada es

triangular inferior (si existen dudas con esto, recomendamos revisar previamente

 http://eenube.com/index.php/matematicas/algebra-lineal/73-evaluacion-de-terminantes-por-reduccion-de-renglones),

es posible evaluar det (R) aplicando el teorema β.

Entonces se puede obtener el valor de det (A) al aplicar el terorema γ para

relacionar el valor desconocido de det (A) con el conocido de det (R). En

el ejemplo siguiente podemos apreciar esto:

Teorema β

Si A es una matriz triangular de n x n, entonces det (A) es el producto de los elementos de la diagonal principal; es decir, det (A) = a11 a22 • • • ann.

Teorema γ

a) Si A' es la matriz que se obtiene cuando un solo renglón de A se multiplica por una constante k, entonces det (A') = k det (A).

b) Si A' es la matriz que se obtiene al intercambiar dos renglones de A, entonces det (A') = -det (A).

 

c) Si A' es la matriz que se obtiene al sumar un múltiplo de uno de los renglones de A a otro renglón, entonces det (A') = det (A).

El método de reducción de los renglones resulta apropiado para la

evaluación de determinantes con computadora debido a que es sistemático

y se programa con facilidad. Sin embargo, para cálculos a mano, a

 

menudo son más sencillos los métodos que se desarrollamos en ocasiones pasadas.


Pues tiene todo el renglón de ceros,

al aplicar el teorema, al hacer el

producto resultará cero.

 

Con base en este ejemplo debe ser evidente que, siempre que una matriz cuadrada tengo dos 

renglones proporcionales (como el primero y el segundo renglones de A), es posible introducir un

renglón de ceros al sumar un múltiplo apropiado de uno de estos renglones al otro. Por consiguiente,

si una matriz cuadrada tiene dos renglones proporcionales, su determinante es cero.

 

<<ZEUS>>

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