EVALUACIÓN DE 

DETERMINANTES POR REDUCCIÓN DE

RENGLONES

 

 En este artículo mostraremos que existe la posibilidad de evaluar el determinante de una matriz reduciéndola a la forma escalonada en los renglones. Este método es importante ya que evita el hecho de hacer los largos cálculos relacionados con la aplicación directa de la definición determinante. Se consideran dos tipos de matrices cuyo determinante se puede evaluar con facilidad, sin importar el tamaño de la matriz.

Teorema α

Si A es cualquier matriz cuadrada que contiene un renglón de ceros, entonces det (A) = 0.

Ya que un producto elemental con signo tomado de A contiene un factor de cada renglón de A, todo producto elemental con signo contiene un factor el renglón de ceros, como consecuencia, tiene valor cero. Ya que det (A) es la suma de los productos elementales con signos, se obtiene det (A) = 0. Δ

Se dice que una matriz cuadrada es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son ceros. De modo análogo, se dice que una matriz cuadrada es triangular inferior si todos los elementos que están arriba de la diagonal principal son ceros. Cuando nos referimos a una matriz triangular puede ser superior o inferior.

 

El único producto elemental tomado de A que puede ser diferente de cero es a11 a22 a33 a44. Para ver esto, considérese un producto elemental típico a1j1 a2j2 a3j3 a4j4. Supuesto que a12 = a13 = a14 = 0, debe tenerse j1 = 1 para tener un producto elemental diferente de cero. Si j1 = 1 se debe tener j2 1, dado que dos factores cualesquiera no pueden provenir de la misma columna. Además, como a23 = a24 = 0, se ha de tener j2 = 2 para tener un producto diferente de cero. Al continuar de esta manera, se obtiene j3 = 3 y j4 = 4. Ya que a11 a22 a33 a44 se multiplica por +1 al formar el producto elemental con signo, se obtiene:

 

 

det (A) = a11 a22 a33 a44

Es posible aplicar un argumento semejante al que acaba de presentarse, a cualquier matriz triangular, para llegar al resultado general siguiente:

 

Teorema β

Si A es una matriz triangular de n x n, entonces det (A) es el producto de los elementos de la diagonal principal; es decir, det (A) = a11 a22 • • • ann.

Ejemplo:

El teorema que sigue se muestra en qué forma una operación elemental sobre los renglones de una matriz afecta el valor de su determinante. Sea A cualquier matriz de n x n El teorema que sigue se muestra en qué forma una operación elemental sobre los renglones de una matriz afecta el valor de su determinante. Sea A cualquier matriz de n x n

 

Teorema γ

  • Si A' es la matriz que se obtiene cuando un solo renglón de
  • A se multiplica por una constante k, entonces det (A') = k
    det (A).
  • Si A' es la matriz que se obtiene al intercambiar dos
    renglones de A, entonces det (A') = -det (A).
  • Si A' es la matriz que se obtiene al sumar un múltiplo de uno de los renglones de A a otro renglón, entonces det (A') = det (A).

Si se evalúan los determinantes de estas matrices por medio del método usado en el ejemplo anterior, obtenemos:

 

det (A) = -2 , det (A1) =-8 , det (A2) = 2 , det (A3) = -2

 

Obsérvese que A1 se obtiene al multiplicar el primer renglón de A por 4; A2 al intercambiar los dos primeros renglones; y A3 al sumar -2 veces el renglón de A al segundo. Como lo predice el teorema γ, se tienen las relaciones

 

det (A1) = 4 det (A) det (A2) = -det (A) y det (A3) = det (A)

 

 

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