Todo sistema de ecuaciones lineales tiene una solución, una infinidad de soluciones, o bien, ninguna solución.

A medida que se avance, se presentan situaciones en las que no se tiene interés en encontrar las soluciones para

un sistema dado, si no que, por el contrario, se trata de decidir cuantas soluciones tiene el sistema. En esta

ocasión consideraremos casos en los que es posible, por simple observación, llegar a proposiciones acerca

del número de soluciones.

 

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos constantes son cero; es

decir, el sistema tiene la forma:

                                                   a11x + a12x2  + . . . +  a1nxn = 0

                                                   a21x1  + a22x2  + . . . +  a2nxn = 0

                                                      .             .                      .          .

                                                      .             .                      .          .

                                                      .             .                      .          .

                                                   am1x1 + am2x2 + . . .  + amnxn = 0

 

 Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, ya que x1 = 0, x2 = 0, … , xn = 0 siempre

es una solución. Esta solución se conoce como solución trivial; si existen otras soluciones, se dice que

son soluciones triviales.

 

 

Dado que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales debe ser consistente, se tiene una solución o

infinidad de soluciones. Puesto que una de estas soluciones es trivial, se puede afirmar lo siguiente:

 

Para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, se cumple exactamente una de las siguientes

proposiciones:

 

1. El sistema tiene solo la solución trivial

2. El sistema tiene una infinidad de soluciones no triviales además de la trivial.

 

Existe un caso en el que queda asegurado que un sistema homogéneo tiene soluciones no triviales; a saber,

siempre que el sistema comprende las incógnitas que ecuaciones. Para ver la razón de esto, considere

el ejemplo siguiente de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas.

 

Resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que sigue, aplicando la eliminación de Gauss- Jordan.

 

                                                    2x1 + 2x2 – x3             + x5 = 0

                                                            -x1 – x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0

                                                            x1 + x2 – 2x3             - x5 = 0

                                                                                    x3 + x4 + x5 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El sistema correspondiente de ecuaciones es:

 

                                x1 + x2                + x5 = 0

                                             + x3        + x5 = 0

                                                      x4          = 0

Despejando las variables se llega a :

 

                                                 x1 = -x2 -x5

                                                   x3 = -x5

                                                   x4 = 0

Por lo tanto, el conjunto solución queda dado por:

x1 = -s – t, x2 = s, x3 = -t, x4 = 0, x5 = t

 

Nótese que se obtiene la solución trivial cuando s = t = 0

 

En este ejemplo se ilustran dos hecho importantes acerca de la resolución de sistemas homogéneos de ecuaciones

lineales. En primer lugar, ninguna de las tres operaciones elementales sobre los renglones puede alterar la columna

final de ceros en la matriz aumentada, de modo que el sistema de ecuaciones correspondiente a la forma escalonada

en los renglones reducida de la matriz aumentada también debe ser un sistema homogéneo. En segundo lugar,

dependiendo de si la forma escalonada en los renglones reducida de la matriz aumentada tiene algún renglón solo

con ceros, el número de ecuaciones en el sistema original. Por consiguiente, el sistema homogéneo dado tiene m

ecuaciones en n incógnitas con m < n, si existen r renglones diferentes de cero en la forma escalonada en los

renglones reducida de la matriz aumentada, se tendrá r < n; así entonces, el sistema de ecuaciones corres correspondiente

a la forma escalonada en los renglones reducida de la matriz aumentada se verá:

                                          . . .  xk1                                  + Σ ( ) = 0

                                                       . . .  xk2                         + Σ ( ) = 0

                                                                       . . .

                                                                              .

                                                                                  .

                                                                                     .

                                                                                        xkr + Σ ( ) = 0

 En donde xk1, xk2, … , xkr son variables principales y Σ ( ) = 0 denota sumas que comprende las n – r variables

restantes. Al despejar las variables principales resulta:

                                                                           xk1                 = - Σ ( )

                                                                                 xk2           = - Σ ( )

                                                                                                  .

                                                                                                      .

                                                                                                          .

                                                                                                xkr = - Σ ( )

 Como en el ejemplo anterior, es posible asignar valores arbitrarios a las variables del segundo miembro y obtener

así una infinidad de soluciones para el sistema.

En resumen, se tiene el importante teorema que sigue:

 

Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con más incógnitas que ecuaciones, siempre tiene un infinidad desoluciones.

 

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