Todo sistema de ecuaciones lineales tiene una solución, una infinidad de soluciones, o ninguna solución. Y son estas soluciones las que se intentarán obtener a partir de nuestra ecuación. En esta ocación se tratará un tipo especial de sistemas de ecuaciones, que son las homogéneas. 

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos constantes son cero; es decir, el sistema tiene la forma:

\[ \begin{array}{lcl} a_{11}x_1 &+ a_{12}x_2 &+  \dots &+ a_{1n}x_n &= 0 \\ a_{21}x_1 &+ a_{22}x_2 &+  \dots &+ a_{2n}x_n &= 0 \\ \vdots &+ \vdots &+ \ddots &+ \vdots &= \vdots \\ a_{m1}x_1 &+ a_{m2}x_2 &+  \dots &+ a_{mn}x_n &= 0 \\ \end{array} \]

Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, ya que x1 = 0, x2 = 0, … , xn = 0 siempre es una solución. Esta solución se conoce como solución trivial; si existen otras soluciones, se dice que son soluciones triviales.

 Dado que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales debe ser consistente, se tiene una solución o infinidad de soluciones. Puesto que una de estas soluciones es trivial, se puede afirmar lo siguiente: Para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, se cumple exactamente una de las siguientes proposiciones:

  • El sistema tiene sólo una solución trivial
  • El sistema tiene una infinidad de soluciones no triviales además de la trivial

Existe un caso en el que queda asegurado que un sistema homogéneo tiene soluciones no triviales; a saber, siempre que el sistema comprende las incógnitas que ecuaciones. Para ver la razón de esto, considere el ejemplo siguiente de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas.

A continuación veamos un ejemplo. Resolvamos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que sigue, aplicando la eliminación de Gauss- Jordan.

\[ \begin{array}{c} 2x_1 &+ 2x_2 &- x_3 & & &= 0 \\ -x_1 &- x_2 &+ 2x_3 &- 3x_4 &+ x_5 &= 0 \\ x_1 &+ x_2 &- 2x_3 & &- x_5 &= 0 \\ & & x_3 &+ x_4 &+ x_5 &= 0 \end{array} \]

Recordemos que cada columna será asiganda a una variable, en este caso para x1, x2, x3, x4 y x5 por lo que tendremos 5 columnas. La última columna es asignada a la columna de resultados, en este caso 0. Cada ecuación será asignada a su vez a una hilera. Cómo tenemos 4 ecuaciones, la matriz es de 4x5 y un vector adicional de 4x1, para formar la matriz aumentada

Primero mostraremos la matríz A, que se forma a partir del sistema de ecuaciones, y la matríz B, que es el vector que contiene los resultados de las ecuaciones. 

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\\]

Ahora, obtenemos la matriz aumentada concatenando A y B. Esta será denotada como (A|B), y en nuestro ejemplo tiene la sigueinte forma:

\[ (A|B) = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -3 & 1 & 0\\ 1 & -1 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]

Con esta matríz se buscará su forma escalonada, lo cual se realiza aplicando eliminación gausiana. La matríz resultante es:

\[ (A|B) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

El sistema correspondiente de ecuaciones es:

\[ \begin{array}{c} x_1 &+ x_2 & & & + x_5 & = 0 \\ & & +x_3 & &+ x_5 & = 0 \\ & & & x_4 & & = 0 \end{array} \]

Despejando las variables se llega a:

\[ \begin{array}{c} x_1 & = & -x_2 - x_5 \\ x_3 & = & -x_5 \\ x_4 & = & 0 \end{array} \]

Por lo tanto, el conjunto solución queda dado por:

\[x_1 = -s-t, x_2=s, x_3=-t, x_4=0,x_5=t\]

Nótese que se obtiene la solución trivial cuando s = t = 0

En este ejemplo se ilustran dos hecho importantes acerca de la resolución de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales.

  • En primer lugar, ninguna de las tres operaciones elementales sobre los renglones puede alterar la columna final de ceros en la matriz aumentada (A|B), de modo que el sistema de ecuaciones correspondiente a la forma escalonada en los renglones reducida de la matriz aumentada también debe ser un sistema homogéneo.
  • En segundo lugar, dependiendo de si la forma escalonada en los renglones reducida de la matriz aumentada tiene algún renglón solo con ceros, el número de ecuaciones en el sistema original será m < n. Por consiguiente, el sistema homogéneo dado tiene m ecuaciones en n incógnitas con m < n. Si existen r renglones diferentes de cero en la forma escalonada , se tendrá r < n; así entonces, el sistema de ecuaciones correspondiente a la forma escalonada en los renglones reducida de la matriz aumentada se verá:

\[ \begin{array}{c} x_{k_1} & & & & \Sigma & = & 0 \\ & x_{k_2} & & & \Sigma & = & 0 \\ & & \ddots & & \Sigma & = & 0 \\ & & & x_{k_r} & \Sigma & = & 0 \end{array} \]

En donde x k1, xk2, … , xkr son variables principales y Σ ( ) = 0 denota sumas que comprende las n – r variables restantes. Al despejar las variables principales resulta:

\[ \begin{array}{c} x_{k_1} & & & & = & - \Sigma \\  & x_{k_2} & & & = & - \Sigma \\ & & \ddots & & = & - \Sigma \\ & & & x_{k_r} & = & - \Sigma \end{array} \]

Como en el ejemplo anterior, es posible asignar valores arbitrarios a las variables del segundo miembro y obtener así una infinidad de soluciones para el sistema.

En resumen, se tiene el importante teorema que sigue:

Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con más incógnitas que ecuaciones, siempre tiene un infinidad desoluciones.

.-°ZEUS°-.

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