En este artículo revisaremos la terminología básica de los sistemas de ecuaciones y analizaremos un método para resolverlos. Una recta en el plano xy se puede representar algebraicamente mediante una ecuación de la forma

\[ a_1x + a_2y = b \]

Una ecuación de este tipo se conoce como ecuación lineal en las variables x y y. En forma general, se define una ecuación lineal en las n variables x1, x 2, …, xn como aquella que se puede expresar en la forma:

\[ a_1x_1+a_2x_2+ \dots + a_nx_n = b. \]

En donde a1, a2, … , an y b son constantes reales. Las siguientes son ecuaciones lineales:

\[ x+3y = 7 \\ x_1 -2x_2 3x_3 + x_4 = 7 \]

Nótese que una ecuación lineal no comprende productos o raíces de variables. Todas las variables se presentan únicamente a la primera potencia y no aparecen como argumento, para funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales. Las que siguen no son ecuaciones lineales 

\[ x + 3y^2 = 7 \\ y - \sin x = 0 \\ x_1^{1/5}+2x_2 + x_3 = 0 \]

Una solución de la ecuación lineal a1x1+ a2x2 + anxn = b es una sucesión de n números s1, s2, … , sn. El conjunto de todas las soluciones de la ecuación es su conjunto solución.

Ahora bien encuentrese el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones:

 

a) 4x- 2y = 1

b) x1- 4x2 + 7x3 = 5

A fin de encontrar las soluciones de a) se puede asignar un valor arbotrario a x y despejar y, o bien, elegir un valor arbitrario para y y despejar x. Si se sigue el primer procedimiento y se asigna a x un valor arbitrario t, se obtiene:

 x= t, y = 2t – ½ 

Estas formulas describen el conjunto solución en términos del parámetro arbitrario t. Es posible obtener soluciones numéricas particulares al sustituir t por valores específicos. Por ejemplo, t = 3 nos da la solución x = 3, y y = 1 ½ y t = ½ proporciona la solución x = -½ , y = - 3/2.

Si se sigue el segundo procedimiento y se asigna a y el valor arbitrario t, se obtiene: 

x = ½t + ¼, y = t

 Aun cuando estas fórmulas so diferentes a las obtenidas con anterioridad, proporcionanvel mismo conjunto solución cuando se hace variar t sobre los números reales posibles.

Por ejemplo, las fórmulas previas dieron la solución x = 3 y y = 11/2 cuando t = 3, entonces mientras que estas fórmulas conducen a esta solución cuando t = 11/2. 

Para encontrar el conjunto solución de b) se puede asignar varios valores arbitrarios a dos variables cualesquiera y despejar la tercera variable. En particular, si se asignan los valores arbitrarios s y t a x2 y x3, respectivamente, y se despeja x1, se obtiene: 

x1 = 5 + 4s – 7t , x2 = s, x3 = t

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x1, x2, …, xn se conoce como sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de números s1, s2, …, sn es una solución del sistema si x1 = s1, x2 = s2, … , xn = sn es una solución de toda ecuación en tal sistema.

No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen soluciones; por ejemplo, si se multiplica la segunda ecuación del sistema

x + y = 4

2x + 2y = 6

 Por ½, es evidente que no hay solución alguna, ya que las dos ecuaciones del sistema resultante 

x + y = 4

x + y = 6

 Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución se dice que es inconsistente Si existe al menos una solución, se le denomina consistente. A fin de ilustrar las posibilidades de que puedan presentarse al resolver sistemas de ecuaciones lineales, considérese un sistema general de dos ecuaciones lineales en las incognitas x y y:

a1x + b1y = c1 (a1, b1 ≠ 0)

a2x + b2y = c2 (a2, b2 ≠ 0) 

Las gráficas de estas ecuaciones son rectas; se hará referencia a ellas como l1 y l2. Puesto que un punto (x, y) está sobre una recta si y solo si los números x y y satisfacen la ecuaciones de la misma, las soluciones del sistema corresponden a puntos de intersección de l1 y l2. Se tienen tres posibilidades 

a) Las rectas l1 y l2 pueden ser paralelas, en cuyo caso no existe intersección alguna y, como consecuencia, no hay solución para el sistema.

b) Las rectas l1 y l2 pueden interceptarse en sólo un punto, en cuyo caso el sistema tiene exactamente una solución.

c) Las rectas l1 y l2 pueden coincidir, en cuyo caso existe una infinidad de puntos de intersección y, por consiguiente una infinidad de soluciones para el sistema.

Aun cuando solo se han considerado dos ecuaciones con dos incógnitas, posteriormente demostraremos que se cumple este mismo resultado para sistemas arbitrarios; es decir: 

 

Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene solución alguna, tiene exactamente una solución, o bien, una infinidad de soluciones.

 

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