En esta ocasión presentamos un tipo de multiplicación de vectores en los espacios

bidimensional y tridimensional. Establecemos las propiedades aritméticas de

esta multiplicación y veremos algunas aplicaciones.

 

Sean u y v dos vectores diferentes de cero en los espacios bidimensional

o tridimensional y suponga que se han situado estos vectores de modo que sus puntos

iniciales coincidan. Se dirá que el ángulo entre u y v es el ángulo θ determinado por u

y v que satisface 0 θπ.

 

 


Si u y v son vectores en los espacios bidimencional o tridimencional y θ ee el

ángulo entre u y v, entonces el producto escalar (punto) o producto euclidiano

interior u · v se define por:

 

 

 

Tomando en cuenta los datos de la figura previa, el ángulo entre los vectores

u=(0, 0, 1) y v=(0, 2, 2) es de 45°, por lo tanto:

 

 

 

 

Al hacer la sustitución,

||u||2 = u12 + u22 +u32

||v||2 = v12 + v22 + v32

 

||v – u||2 = (v1 – u1)2 + (v2 – u2)2 + (v3 – u3)2

 

u v = u1v1 + u2v2 + u3v3

 

Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son dos vectores en el espacio bidimencional,

entonces la fórmula que corresponde es:

 

u v = u1v1 + u2v2

 

 

 

Hállese el ángulo entre una de las diagonales de un cubo y una de sus aristas.

 

Sea k la longitud de una de las aristas e introdúzcase un sistema de coordenadas como se

muestra en la figura posterior

 

Si se hace u1= (k, 0, 0), u2 = (0, k, 0), u3 = (0, 0, k),

 

entonces el vector d= (k, k, k) = u1 + u2 + u3

 

 

 

 

 

-ZEUS-