Teorema:

Si u, v y w son vectores en el espacio bidimencional o en el tridimencional y k es un escalar cualquiera, entonces:

a) u · v = v · u

b) u · (v + w) = u · v + u · w

c) k(u · v) = (ku) · v = u · (kv)

d) v · v = 0 si v 0 y v · v = 0 si v = 0

 

Demostremos c) para vectores en el espacio tridimencional. Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1 , v2, v3); entonces:

 

k(u · v) = k(u1v1 + u2v2 + u3v3)

= (ku1)v1 + (ku2)v2 + (ku3)v3

= (ku) · v

De modo análogo, k(u · v) = u · (kv) Δ

 

Se definen dos vectores u y v como ortogonales (denotados u v) si u · v = 0. Si se conviene en que el

vector cero forma un ángulo de π/2 con todo vector, entonces dos vectores son ortogonales si y solo si

son geométricamente perpendiculares.

 

 

El producto escalar es útil en problemas en los que se tiene interés en “descomponer” un vector en una

suma de vectores perpendiculares, Si u y v son vectores diferentes de cero en el espacio

bidimencional o en el tridimencional, entonces siempre es posible escribir u como:

 

 

u = w1 + w2

 

 

En donde w1 es múltiplo escalar de v, y w2 es perpendicular a v, como se muestra en la fugura posterior.

El vector w1 recibe el nombre de proyección ortogonal de u sobre v y el w2 es la componenete de u

ortogonal a v.

 

 

 

Los vectores w1 y w2 se pueden obtener debido a que w1 es un múltiplo escalar de v, se puede

escribir en la forma w1 = kv. Por lo tanto:

 

u = w1 + w2 = kv + w2

 

Al tomar el producto escalar de dos miembros con v y aplicar los teoremas previos obtenemos:

 

u · v = (kv + w2) · v = k ||v||² + w2 · v

 

 

Supuesto que w2 es el perpendicular a v, se tiene w2 · v = 0, de modo que por esta ecuación se llega a

 

k = (u · v) / ||v||²

 

y como w1 = kv, se obriene:

 

w1 = [(u · v) / ||v||² ][v]

proyección ortogonal de u sobre v

 

al despejar w2 de u = w1 + w2 da:

 

w2 = u - {[(u · v) / ||v||² ]}v

componente de u ortogonal a v

 

 

Considérese:

 

u = (2, -1, 3) y v = (4, -1, 2)

 

ya que

 

u · v = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 15

 

||v||² = 4² + (-1)² + 2² = 21

 

La proyección ortogonal de u sobre v es

 

[(u · v) / ||v||²] v = 15/21 (4, -1, 2) = (20/7, -5/7, 10/7)

 

 

 

La componente de u ortogonal a v es:

 

w2 = u – w1 = (2, -1 , 3) – (20/7, -5/7, 10/7)

 

= (-6/7, -2/7, 11/7)

 

 

EJERCICIOS.

 

1. Encontrar u · v donde:

u = (1, -5, 4) y v = (3, 3, 3)

 

u · v = (1, -5, 4) · (3, 3, 3) = [(3)(1) + (-5)(3) + (4)(3)] = 3 – 15 + 12 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) u = (0, 0, 1) , v = (8, 3, 4)

3. Encontrar ||proya u||

 

a) u = (1, -2) , v = (-4, -3)

 

 

<<ZEUS>>

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