En el artículo anterior recordamos las propiedades del producto u x v, tanto en dirección como en longitud concluimos también que esas propiedades dependen unicamente de las longitudes y posiciones relativas de u y v, y no del sistema derecho de coordenadas que se esté utilizando, en particular, el vector de u x v permanece inalterado, si se introduce un sistema derecho diferente de coordenadas.

a) u x v es perpendicular tanto a u como a v
b) La orientación de u x v se determina por la regla de la mano derecha.

c) ||u x v|| = ||u|| ||v|| sen θ.

 

Considere ahora los vectores perpendiculares u y v,

cada uno de longitud l (como se muestra en la figura)

Si se introduce un sistema de coordenadas xyz, como se ve en la figura, entonces:

 

u = (1, 0, 0) = i y v = (0, 1, 0) = j

 

De modo que:

 

u x v = i x j = k = (0, 0, 1)

 

Por otro lado, si se introduce un sistema de coordenadas x'y'z',

como se muestra a continuación, entonces:

 

u = (0, 0, 1) = k y v = (1, 0, 0) = i

De modo que:

 

u x v = k x i = j = (0, 1, 0)

 

En la figura central y derecha se ve con claridad que el vector

(0, 0, 1) del sistema xyz es el mismo que el vector (0, 1, 0)

del sistema x'y'z'. Por lo tanto, se obtiene el mismo vector u x v,

que se calcula con coordenadas del sistema xyz

o con las coordenadas del sietema x'y'z'.

 

 

 

1. Sean

u = (3, 2, -1) v = (0, 2, -3) y w = (2, 6, 7)

 

calcular:

a) v x w

b) u x (v x w)

c) (c x v) x w

d) (u x v) x (v x w)

 

 

 

 

 

2. Encontrar un vector que sea ortogonal tanto a u como a v

a) u = (-6, 4, 2) v = (3,1 , 5)

 

b) u = (-2, 1, 5) v = 3, 0, -3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Encontrar el área del paralelo gramo determinado por u y v.

 

a) u = (1, -1, 2) , v = (0, 3, 1)

b) u = (2, 3, 0) , v = (-1, 2, -2)

 

c) u = (3, -1, 4), v = (6, -2, 8)

 

4. Encontrar el área del triángulo que cuyos vértices son P, Q y R.

 

 

P(2, 6, -1), Q(1, 1, 1), R(4, 6, 2)

 

 

5. encontrar el triple producto escalar u · (v x w)

 

u = (-1, 2, 4) , v = (3, 4, -2) , w = (-1, 2, 5)

 

 

 

 

 

-ZƩUS-