En muchas de las aplicaciones de los vectores a problemas de la geometría, física e ingeniería se tiene interés en construir un vector en el espacio tridimensional que sea perpendicular a dos vectores dados. En esta ocasión presentamos la multiplicación vectorial que facilita esta construcción.

Su u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) son vectores en el espacio tridimencional, entonces el producto vectorial (cruz) u X v es el vector definido por:

 

 

u x v = (u2v3 – u3v2 , u3v1 – u1v3 , u1v2 – u2v1)

 

 

 

 

Todos los elementos del primer renglón son las componentes del primer factor u, y los el segundo renglón son las componentes del segundo factor v, entonces el determinante de la primer componente de u x v se obtiene al eliminar la primera columna de la matriz, el determinante de la segunda componente al eliminar la segunda columna de la matriz, y el determinante de la tercer componente al eliminar la tercera columna de la matriz.

 

 

Por decirlo de una forma, el producto escalar (punto) de dos vectores resulta un escalar, y el producto vectorial (cruz) es otro vector. El siguiente teorema da una relación entre el producto escalar y el vectorial, también indica que u x v es ortogonal tanto a u como a v.

 

Teorema. Si u y v son vectores en el espacio tridimensional, entonces,

 

a) u • (u x v) = 0 (u x v es ortogonal a u)

b) v • (u x v) = 0 (u x v es ortogonal a v)

c) ||u x v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u • v)2 (Identidad de Lagrange)

 

Considérese los vectores

u = (1, 2, -2) y v = (3, 0, 1)

Anteriormente demostramos que

u x v = (2,-7, -6)

Debido a que:

u • (u x v) = (1)(2) + (2)(-7) + (-2)(-6) = 0

y

v • (u x v) = (3)(2) + (0)(-7) + (1)(-6) = 0

 

u x v es ortigonal a u como a v, como lo garantiza el teorema previo.

 

Las propiedades aritméticas del producto vectorial se listan en el teorema siguiente:

 

Si u, v y w son vectores cualesquiera en el espacio tridimensional y k es un escalar cualquiera, entonces:

 

a) u x v = - (v x u)

b) u x (v + w) = (u x v) + (u x w)

c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w)

d) k (u x v) (ku) x v = u x (kv)

e) u x 0 = 0 x u = 0

f) u x u = 0

Considere los vectores

i = (1, 1, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)

Cada uno de estos vectores tienen longitud 1 y están a lo largo de los ejes de coordenadas respectivos (x, y, z); éstos se conoces como vectores unitarios estándar del espacio tridimensional.

 

 

 

 

 

Todo vector v = (v1, v2, v3) en el espacio tridimensional se puede expresar en términos de i, j, y k, ya que se puede escribir

v = (v1, v2, v3) = v1(1, 0, 0) + v2(0, 1, 0) + v3(0, 0, 1) = v1i + v2j + v3k

 

Por ejemplo:

 

(2, -3, 4) = 2i3j + 4k

 

 

 

Como tal, ahora usted no debe tener problemas para obtener los siguientes resultados.

 

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = k, j x k = i, k x i = j

j x i = - k, k x j = - i, i x k = - j

 

 

 

 

 

E diagrama que sigue es útil para recordar estos resultados.

 

 

 

 

 

Con frecuencia este diagrama, el producto vectorial de dos vectores consecutivos al ir en el sentido de las manecillas del reloj es el vector que sigue sobre la circunferencia, y el producto vectorial de dos vectores consecutivos al avanzar en sentido contrario a las manecillas del reloj es el negativo del vector siguiente sobre la circunferencia.

 

También podemos decir que se puede representar simbólicamente un producto vectorial en forma de un determinante de 3 x 3,

 

 

Veamos ahora lo siguiente:

No es cierto que u x (v x w) = (u x v) x w.

Por ejemplo:

i x (j x j) = i x 0 = 0

 

(i x j) x j = k x j = -(j x k) = -i

 

entonces:

i x (j x j) ≠ (i x j) x j

 

Sabemos que u x v es ortogonal tanto a u como a v, Si u x v son vectores diferentes de cero, se puede demostrar que es posible la dirección u x v aplicando la regla de la mano derecha*. Sea θ el ángulo entre u y v, y suponga qye se hace girar u de modo que describa el ángulo θ hasta que coincida con v.

Si se curvan los dedos de la mano derecha de modo que apunten en la dirección de rotación, entonces el pulgar apunta (aproximadamente) en la dirección de u x v.

Tal vez le resulte insctructivo practicar con esta regla con los productos:

 

 

i x j = k j x k = i k x i = j

 

 

 

Si u y v son vectores diferentes de cero en el espacio tridimensional, entonce la noma de u x v tiene una interpretación geométrica útil, la identidad de Lagrange, dada en el teorema previo afirma que:

 

||u x v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u · v)2

 

Si θ denota el ángulo entre u y v, entonces u · v = ||u|| ||v|| cosθ, de modo que se puede reescribir como:

 

||u x v||2 = ||u||2 ||v||2 - ||u||2 ||v||2 cosθ

= ||u||2 ||v||2 (1 – cos2θ)

= ||u||2 ||v||2 sen2θ

Por lo tanto decimos:

||u x v|| = ||u|| ||v|| senθ

 

Pero ||v|| senθ es la altura del paralelogramo determinado por u y v por voinsiguiente, por lo citado y denotado en la sección anterior, el área A de este paralelogramo esta dada por:

 

A = (base)(altura) = ||u|| ||v|| senθ = ||u x v||

 

 

En otras palabras, la norma de u x v es igual al área del paralelogramo determina por u y v:

 

 

 

Inicialmente, se definió un vector como un segmento rectilíneo dirigido, o flecha en el espacio bidimensional o tridimensional: posteriormente se introdujeron los sistemas de coordenadas y las componentes para simplificar los cálculos con los vectores Por tanto, un vector tiene una “existencia matemática” sin importar si se haya introducido o no un sistema de coordenadas; además, las componentes de un vector no quedan determinadas solo por el propio vector, sino tambien dependen del sistema de coordenadas que se elija. Por ejemplo en la siguiente figura se tiene indicado un vector fijo en el plano v, y dos sistemas diferentes de coordenadas. En el sistema de coordenadas xy, lasc componentes de v son (1, 1) y en el sistema x'y' son

(\{jatex}{sqrt[2]}{\jatex} \,0)

 

 

Esto lleva a una pregunta importante de la definición dada de producto vectorial. Puesto que se definió el producto vectorial u x v en términos de las componentes de u y v, y como estas componentes dependen del sistema de coordenadas elegido, ´parece factible quie dos vectores fijos u y v podrían tener productos vectoriales diferentes en sistemas diferentes de coordenadas Por fortuna, éste no es el caso, Para justificar esto, basta recordar que:

 

a) u x v es perpendicular tanto a u como a v

b) La orientación de u x v se determina por la regla de la mano derecha.

c) ||u x v|| = ||u|| ||v|| sen θ.

 

Estas tres propiedades determinan por completo al vector u x v; las propiedades de a) y b) determinan la direcciín y la C) determina la longitud. Dado que estas propiedades dependen unicamente de las longitudes y posiciones relativas de u y v, y no del sistema derecho de coordenadas que se esté utilizando, en particular, el vector de u x v permanece inalterado, si se introduce un sistema derecho diferente de coordenadas. Este hecho se describe al afirmar que la definición de u x v es independiente de las coordenadas. Este resultado tiene gran importancia para los físicos e ingenieros, quienes, con frecuencia trabajan con muchos sistemas de coordenadas en el mismo problema.

 

 

 

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