Mira, este es un ejemplo de cómo usar latex:

\[a^2 \times \bar{N}\]

 

En esta ocasión presentamos un tipo de multiplicación de vectores en los espacios bidimensional y tridimensional. Estableceremos las propiedades aritméticas de esta multiplicación y veremos algunas aplicaciones.

 

 

 

Sean u y v dos vectores diferentes de cero en los espacios bidimensional o tridimensional y suponga que se han situado estos vectores de modo que sus puntos iniciales coincidan. Se dirá que el ángulo entre u y v es el ángulo θ determinado por u y v que satisface 0 θπ.

 

 

Si u y v son vectores en los espacios bidimencional o tridimencional y θ ee el ángulo entre u y v, entonces el producto escalar (punto) o producto euclidiano interior u · v se define por:

 

 

 

 

Tomando en cuenta los datos de la figura previa, el ángulo entre los vectores u=(0, 0, 1) y v=(0, 2, 2) es de 45°, por lo tanto:

 

u · v = ||u|| ||v|| cosθ =

\[\sqrt{mathstrut (0^2 + 0^2 + 1^2)} \sqrt{\mathstrut (0^2 + 2^2 + 0^2)} (\displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{\mathstrut(2)}) = 2\]

 

 

Sean u = (u1, u2, u3) y v = v1, v2, v3) dos vectores diferentes de cero. Si θ es el ángulo entre u y v, entonces la ley de los cosenos da

 

[tex](||\barPQ||)^2 = (||u||)^2 - 2cosθ[\tex]

 

 

 

Puesto que [tex]\bar PQ[\tex] = v – u, se puede volver a escribir como

 

||u|| ||v|| cos θ = [tex]\displaystyle\frac{1}{2}[\tex](||u||² + ||v||² - ||v – u||²)

 

 

u v = [tex]\displaystyle\frac{1}{2}[\tex] (||u||² + ||v||² - ||v – u||²)

 

 

 

Al hacer la sustitución,

||u||² = u₁² + u ₂² + u ₃² ||v||² = v ₁² + v ₂² + v ₃²

 

||v – u ||² = (v₁ – u ₁)² + (v ₂ – u ₂)² + (v ₃ – u ₃)²

u v = u1v1 + u2v2 + u3v3

 

Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son dos vectores en el espacio bidimencional, entonces la fórmula que corresponde es:

 

u v = u1v1 + u2v2

 

Hallese u v y determinese el angulo θ entre u y v

 

u v = u₁v₁ + u ₂v₂ + u ₃ v ₃= (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3

 

También ||u|| = ||v|| = [tex]\sqrt{6}[\tex]de modo que

 

cosθ = [tex]( \frac{u v}{||u|| |v||} )[\tex]= [tex]( \frac{3}{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}[\tex] =[tex]( \frac{1}{2} )[\tex]

 

por tanto θ = 60°

 

 

 

Hállese el ángulo entre una de las diagonales de un cubo y una de sus aristas.

 

Sea k la longitud de una de las aristas e introdúzcase un sistema de coordenadas como se muestra en la figura posterior

 

Si se hace u1= (k, 0, 0), u2 = (0, k, 0), u3 = (0, 0, k), entonces el vector

 

d= (k, k, k) = u1 + u2 + u3

 

 

 

esa una diagonal del cubo. El angulo θ entre d y la arista u1 satisface:

 

cos θ = [tex]u_1 • d \frac{||u_1|| ||d||[\tex] = [tex](\frac{k² }{(k){\sqrt{3k²}}[\tex]) = [tex](\frac{1}{\sqrt{3}})[\tex]

 

Por tanto

0 = [tex]cos^-1 \left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \approx 54.44[\tex]

 

 

En el teorema que sigue se muestra como puede usarse el producto escalar para obtener información acerca del ángulo entre dos vectores; también se establee una importante relación entre la norma y el producto escalar.

 

Sean u y v vectores en el espacio bidimensional o en el tridimensional.

 

a) v · v = ||v||² ; es decir, ||v|| = (v · v)1/2

b) si u y v son vectores diferentes de cero y θ es el ángulo entre ellos, entonces

 

θ es agudo si y solo si u · v > 0

θ es obtuso si y solo si u · v < 0

θ = [tex]\frac{π}{2}[\tex]  si y solo si u · v = 0

 

 

 

 

 

-ZEUS-