Si u, v y w son vectores en el espacio bidimencional o tridimencional, y k y l son escalares, entonces se cumplen las relaciones que siguen:

 

a) u + v = v + u

b) (u + v) + w = u + (v + w)

c) u + 0 = 0 + u = u

d) u + (-u) = 0

e) k(lu) = (kl) u

f) k (u + v) = ku + kv

g) (k + l)u = ku + lu

h) lu = u

 

La demostración para los vectores en espacio tridimencional. La demostración para el espacio bidimencional es semejante. Si

u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2,v3) y w = (w1, w2, w3), entonces.

 

(u + v) + w = [(u1, u2, u3) + (v1, v2,v3)] + (w1, w2, w3)

= (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3) + (w1, w2, w3)

= ([ u1 + v1] + w1, + [ u2 + v2] + w2 , [u3 + v3] + w3)

= (u1 + [v1 + w1] , + u2 + [v2 + w2 ], u3 + [v3 + w3])

= (u1, u2, u3) + (v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3)

= u + (v + w) Δ

 

 

 

Ahora

Suponga que u, v y w se representan por PO, QR y RS (los vectores), como se muestra en la siguiente figura. Entonces:

v + w = QS y u + (v + w) = PS

 

u + v = PR y (u + v) + w = PS

 

Por lo tanto,

 

u + (v + w) = (u + v) + w Δ

 

 

                                                                             

 

 

 


A la longitud de un vector v a menudo se le da el nombre de norma de v y se le denota por ||v||, del teorema de Pitágoras se deduce que la norma de un vector v = (v1, v2)

en el espacio bidimencional es

 

||v|| = (v12 + v22)1/2

 

Si P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) son dos puntos en el espacio tridimensional, entonces la distancia d entre ellos es la normal del vector P1P2, debido a que:

 

P1P2 = (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1)

 

 

 

 

 

 

De modo analógico, si P1 (x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos en el espacio bidimencional, entonces la distancia entre ellos está dada por:

 

d = ((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2)1/2

 

 

Pongamos un ejemplo:

 

La norma del vector v = (-3, 2, 1) es

||v|| = ((-3)2 + (2)2 + (1)2)1/2 = (14)1/2

 

La distancia d entre los puntos P1 (2, -1, -5) y P2 (4, -3, 1) es:

d = ((4 - 2)2 + (-3 + 1)2 + (1 + 5)2)1/2 = (44)1/2 = 2(11)1/2

 

 

Por definición el producto ku, la longitud de vector ku es k veces la longitud de u. Expresado como ecuación, esta proposición establece que:

 

||ku|| = |k| ||u||

 

 

 

 

 

Ejercicios resueltos:

1. Sean u = (2, -2, 3), v = (1, -3, 4), w = (3, 6, -4); evalúe las expresiones dadas.

 

a) ||u + v||

b) ||u|| + ||v||

c) ||-2u|| + 2||u||

d) ||3u – 5v +w||

e) [(||w||)-1][w]

f) ||(||w||)-w||

 

 

solución

a)

u + v = (2, -2, 3) + (1, -3, 4) = (3, -5, 7)

||u + v|| = ((3)2 + (-5)2 + (7)2)1/2 = (83)1/2 = 9.1104336

 

b)

||u|| = ((2)2 + (-2)2 + (3)2)1/2 = (17)1/2

||v|| = ((1)2 + (-3)2 + (4)2)1/2 = (26)1/2

.: ||u|| + ||v|| = (17)1/2 + (26)1/2 = 9.222125

 

c)

||-2u|| + 2||u||

-2u = -2(2, -2, 3) = (-4, 4, -6)

||-2u|| = ((-4)2 + (4)2 + (-6)2)1/2 = 2(17)1/2

 

||u|| = ((2)2 + (-2)2 + (3)2)1/2 = (17)1/2

2||u|| = 2(17)1/2

 

.: ||-2u|| + 2||u|| = 2(17)1/2 + 2(17)1/2 = 4(17)1/2

 

d)

||3u – 5v +w||

3u = 3(2, -2, 3) = (6 , -6, 9)

5v = 5(1, -3, 4) = (5, -15, 20)

3u – 5v +w| = (6 , -6, 9) - (5, -15, 20) - (3, 6, -4) = (4, 15, -15)

||3u – 5v +w|| = ((4)2 + (15)2 + (-15)2)1/2 = (466)1/2 = 21.5870

 

e)

[(||w||)-1][w] =

||w|| = ((3)2 + (6)2 + (-4)2)1/2 = (61)1/23.

((61)-1/2) w = (61)-1/2(3, 6, -4) = (3/(61)-1/2 , 6/(61)-1/2 , -4/(61)-1/2)

 

f)

||(||w||)-w|| = ||((61)-1/2 (w)) = ((3/(61)-1/2 + 6/(61)-1/2 + (-4/(61)-1/2))1/2 =

||(||w||)-w|| = 1

 

2. Sea v (-1, 2, 5)encontrar todos los escalares de k tales que ||kv|| = 4

 

||kv|| = |k| ||v||

||v|| = ((-1)2 + (2)2 + (5)2)1/2 = (30)1/2

|k| ||v|| = 4

|k| = 4/||v|| = 4/(30)1/2

 

3. demostrar que las componentes del vector v = (v1 , v2) en la siguiente figura son

v1 = ||v|| cosθ y v2 = ||v|| senθ

 

 

 


senθ = co/h = v2/||v||

despejando v2, tenemos:

v2 = ||v|| senθ

 

cosθ = ca/h = v1/||v||

despejando v1 tenemos

v1 = ||v||cosθ

 

-ZEUS-