Si u, v y w son vectores en el espacio bidimencional o tridimencional, y k y l son escalares, entonces se cumplen las relaciones que siguen:
a) u + v = v + u
b) (u + v) + w = u + (v + w)
c) u + 0 = 0 + u = u
d) u + (-u) = 0
e) k(lu) = (kl) u
f) k (u + v) = ku + kv
g) (k + l)u = ku + lu
h) lu = u
La demostración para los vectores en espacio tridimencional. La demostración para el espacio bidimencional es semejante. Si
u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2,v3) y w = (w1, w2, w3), entonces.
(u + v) + w = [(u1, u2, u3) + (v1, v2,v3)] + (w1, w2, w3)
= (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3) + (w1, w2, w3)
= ([ u1 + v1] + w1, + [ u2 + v2] + w2 , [u3 + v3] + w3)
= (u1 + [v1 + w1] , + u2 + [v2 + w2 ], u3 + [v3 + w3])
= (u1, u2, u3) + (v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3)
= u + (v + w) Δ
Ahora
Suponga que u, v y w se representan por PO, QR y RS (los vectores), como se muestra en la siguiente figura. Entonces:
v + w = QS y u + (v + w) = PS
u + v = PR y (u + v) + w = PS
Por lo tanto,
u + (v + w) = (u + v) + w Δ
A la longitud de un vector v a menudo se le da el nombre de norma de v y se le denota por ||v||, del teorema de Pitágoras se deduce que la norma de un vector v = (v1, v2)
en el espacio bidimencional es
||v|| = (v12 + v22)1/2
Si P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) son dos puntos en el espacio tridimensional, entonces la distancia d entre ellos es la normal del vector P1P2, debido a que:
P1P2 = (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1)
De modo analógico, si P1 (x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos en el espacio bidimencional, entonces la distancia entre ellos está dada por:
d = ((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2)1/2
Pongamos un ejemplo:
La norma del vector v = (-3, 2, 1) es
||v|| = ((-3)2 + (2)2 + (1)2)1/2 = (14)1/2
La distancia d entre los puntos P1 (2, -1, -5) y P2 (4, -3, 1) es:
d = ((4 - 2)2 + (-3 + 1)2 + (1 + 5)2)1/2 = (44)1/2 = 2(11)1/2
Por definición el producto ku, la longitud de vector ku es k veces la longitud de u. Expresado como ecuación, esta proposición establece que:
||ku|| = |k| ||u||
Ejercicios resueltos:
1. Sean u = (2, -2, 3), v = (1, -3, 4), w = (3, 6, -4); evalúe las expresiones dadas.
a) ||u + v||
b) ||u|| + ||v||
c) ||-2u|| + 2||u||
d) ||3u – 5v +w||
e) [(||w||)-1][w]
f) ||(||w||)-w||
solución
a)
u + v = (2, -2, 3) + (1, -3, 4) = (3, -5, 7)
||u + v|| = ((3)2 + (-5)2 + (7)2)1/2 = (83)1/2 = 9.1104336
b)
||u|| = ((2)2 + (-2)2 + (3)2)1/2 = (17)1/2
||v|| = ((1)2 + (-3)2 + (4)2)1/2 = (26)1/2
.: ||u|| + ||v|| = (17)1/2 + (26)1/2 = 9.222125
c)
||-2u|| + 2||u||
-2u = -2(2, -2, 3) = (-4, 4, -6)
||-2u|| = ((-4)2 + (4)2 + (-6)2)1/2 = 2(17)1/2
||u|| = ((2)2 + (-2)2 + (3)2)1/2 = (17)1/2
2||u|| = 2(17)1/2
.: ||-2u|| + 2||u|| = 2(17)1/2 + 2(17)1/2 = 4(17)1/2
d)
||3u – 5v +w||
3u = 3(2, -2, 3) = (6 , -6, 9)
5v = 5(1, -3, 4) = (5, -15, 20)
3u – 5v +w| = (6 , -6, 9) - (5, -15, 20) - (3, 6, -4) = (4, 15, -15)
||3u – 5v +w|| = ((4)2 + (15)2 + (-15)2)1/2 = (466)1/2 = 21.5870
e)
[(||w||)-1][w] =
||w|| = ((3)2 + (6)2 + (-4)2)1/2 = (61)1/23.
((61)-1/2) w = (61)-1/2(3, 6, -4) = (3/(61)-1/2 , 6/(61)-1/2 , -4/(61)-1/2)
f)
||(||w||)-w|| = ||((61)-1/2 (w)) = ((3/(61)-1/2 + 6/(61)-1/2 + (-4/(61)-1/2))1/2 =
||(||w||)-w|| = 1
2. Sea v (-1, 2, 5)encontrar todos los escalares de k tales que ||kv|| = 4
||kv|| = |k| ||v||
||v|| = ((-1)2 + (2)2 + (5)2)1/2 = (30)1/2
|k| ||v|| = 4
|k| = 4/||v|| = 4/(30)1/2
3. demostrar que las componentes del vector v = (v1 , v2) en la siguiente figura son
v1 = ||v|| cosθ y v2 = ||v|| senθ
senθ = co/h = v2/||v||
despejando v2, tenemos:
v2 = ||v|| senθ
cosθ = ca/h = v1/||v||
despejando v1 tenemos
v1 = ||v||cosθ
-ZEUS-
