Aveces surgen vectores que no tienen sus puntos iniciales en el origen, si el vector P1P2 tiene el punto inicial P1(x1, y2 , z3) y el punto terminal P2(x2 , y2 , z2) entonces, el punto P1P2 queda determinado como en se muestra en la figura previa.

P1P2 = (x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)

 

 

Podemos decir entonces que las componentes de P1P2 se obrienen al restar las coordenadas del punto inicial de las del punto terminal. Se puede ver esto considerando que el vector P1P2 es la diferencia de los vectores OP1 y OP2, de modo que

 

P1P2 = OP1 – OP2 = (x2, y2, z2) – (x1, y1, z1) = (x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)

 

Por otro lado podemos simplificar mucho las soluciones para muchos problemas, trasladando los ejes de coordenadas a fin de obtener nuevos ejes paralelos a los originales.

En la imagen posterior trasladamos los ejes de coordenadas xy para obtener un sistema de coordenadas x'y' cuto origen O' esta en el punto (x, y) = (k, l). Un punto P en el espacio bidimensional ahora tiene tanto las coordenadas (x, y), como las coordenadas (x', y'). Para ver la forma en que las dos están relacionadas, considérese el vector O'P. En el sistema xy, su punto inicial esta en (k, l) y su punto terminal (x,y); por tanto, OP = (x-k , y – l). En el sistema x'y', su su punto inicial está en (0,0) y su punto terminal en (x', y'); así entonces, OP = (x' , y'). Por lo tanto:

 

x' = x – k y' = y – l

 

 

 

 

 

Estas expresiones se denominan ecuaciones de traslación.

 

Ejemplifiquemos esto, si el nuevo origen está en (k, l) = (4 , 1) y las coordenadas xy de un punto P son (2 , 0), entonces las coordenadas x'y' de P son x' = 2 – 4 = -2 y y' = 0 – 1 = -1

En el espacio tridimensional, las ecuaciones de traslación son:

 

x' = x – k y' = y – l z' = z – m

 

En donde (k, l, m) son las coordenadas xyz del nuevo origen.

 

Ejercicios resueltos:

 

 

1. encontrar las componentes del vector que tiene como punto inicial P1 y punto final P2.

Sabemos que P1P2 = (x2-x1 , y2-y1)

 

a) P1 (4,8) , P2(3,7) = (3 – 1 , 7 - 8) = (-1 , -1) = P1P2

b) P1(3,-5) , P2(-4,-7)= (-4 – 3 , -7-(-5)) = (-7 , -2)

c) P1(-5,0) , P2(-3,1) = (-3 - (-5) , 1 – 0) = (2 , 1)

d) P1(0,0) , P2(a,b) = (a – 0 , b – 0) = (a , b)

e) P1(3,-7,2) , P2(-2,5,-4) = (-2 – 3 , 5 - (-7) , -4 – 2) = (-5 , 12 , -6)

f) P1(-1,0,2) , P2(0,-1,0) = (0 - (-1) , -1 – 0 , 0 – 2) = (1 , -1 , -2)

g) P1(a,b,c) , P2(0,0,0) = (0 - a , 0 - b , 0 - c) = (-a , -b , -c)

 

2. Encontrar un vector diferente de 0 cuyo punto terminal sea Q = (3, 0, -5)

a) U tiene la misma dirección que V = (4, -2, -1)

b) U tiene dirección opuesta a V = (4, -2, -1).

 

sol a.

U = VQ

U = (3-4 , 0-(-2) , -5-(-1))

U = (-1 , 2 , -4)

 

sol b.

VQ = (3-(-4) , 0-(-2) , -5-(-1))

VQ = (7, 2, -4)

 

3. Sean U = (-3, 1, 2), V = (4, 0, -8) y W = (6, -1, -4), encontrar las componentes de

a) V – W                   b) 6U + 2V                    c) -V + U

d) 5(V – 4U)              e) -3(V -8W)                  f) (2U – 7W) – (8V + U)

sol a.

V – W = (4, 0 , -8) – (6, -1, -4)

V – W = (-2, -1, -4)

 

sol b.

6U + 2V = 6(-3, 1, 2) + 2(4, 0, -8)

             = (-18, 6, 12) + (8, 0, -16)

6U + 2V = (-10, 6, -4)

 

sol c.

-V + U = - (4, 0, -8), + (-3, 1, 2)

           = (-4, 0, 8) + (-3, 1, 2)

-V + U = (-7, 1, 10)

 

sol d.

5(V – 4U) = 5[(4, 0, -8) -4(-3, 1, 2)]

               = 5[16, -4, -16]

5(V – 4U) = (80, -20, -80)

 

sol e.

-3(V -8W) = -3[(4, 0, -8) – 8(6, -1, -4)]

               = -3[(4 , 0, -8) – (48, -8, -32)]

               = -3[44, -8, -24]

-3(V -8W) = (-132, 24, 72)

 

sol f.

(2U – 7W) – (8V + U) =

2U - 7W = [2(-3, 1, 2) – 7(6, -1, -4)]

             = [-48, 9, 32]

8V +U = 8(4, 0, -8) + (-3, 1, 2)

          = (32, 0, -64) + (-3, 1, 2)

8V +U = (29, 1, -62)

(2U – 7W) – (8V + U) = (-77, -8, 94)

 

4. Sean los vectores U, V y W los vectores del ejercicio 3, Encontrar las componentes del vector X que satisface a: 2U – V +X = 7X + W

U = (-3, 1, 2) V = (4, 0, -8) W = (6, -1, -4)

 

2U = 2(-3, 1, 2) = (-6, 2, 4)

2U – V = (-6, 2, 4) - (4, 0, -8) = (-10, 2, 12)

 

7X – X = W - 2U – V

6X = (6, -1, -4) - (-10, 2, 12)

6X = (16, -3, -16)

X = 1/6(16, -3, -16)

X= (8/3, -1/3, -8/3)

 

5. Encontrar los escalares C1, C2 y C3 tales que C1(1, 2, 0) + C2(2, 1, 1) + C3(0, 3, 1) = (0, 0, 0)

1C1 + 2C2       = 0

2C1 + C2 + C3 = 0

        3C2 + C3 = 0

 

 

Construimos un sistema de ecuaciones

tomando en cuenta los tres puntos por

sus escalares.

 


 

-ZEUS-

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