Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos rectilíneos dirigidos, o flechas, en los espacios bidimensional y tridimensional; la dirección de la flecha especifica la dirección del vector y la longitud de la misma describe su magnitud. La cola de la flecha se llama punto inicial del vector y su punta es el punto terminal. Los vectores se denotarán por medio de letras minúsculas negritas como a, k, v, w y x.

Al analizar los vectores, los números se mencionarán como escalares. Todos los escalares que se usen en estos artículos serán  números reales y se denotarán por medio de letras minúsculas cursivas como a, k, J, I, W y .X.

 

 

En la figura el punto inicial de un vector v es A, y el punto terminal es B, se escribe entonces:

v = AB

Los vectores con la misma longitud y la misma dirección, como los de la figura se dice que son equivalentes. Puesto que se desea que un vector quede determinado únicamente por su longitud y dirección, los vectores equivalentes se consideran como iguales aún cuando puedan estar localizados en posiciones diferentes . Si v y w son equivalentes se escribe:

v = w

 

Si v y w son dos vectores cualesquiera, entonces la suma v + w es el vector que se determina como sigue: Colóquese el vector w de modo que su punto inicial coincida con el punto terminal de v. E lvector v + w se representa por medio de la flecha que va del punto inicial de v al terminal de w.

En la figura siguiente se han construido dos sumas, v + w  y w + v; es evidente que:

v + w = w + v

 

Y  que la suma coincide con la diagonal del paralelogramo determinado por v y w al ubicar estos vectores de modo que tengan el mismo punto inicial.

 

 

 

 

Si v es un vector y k  es el número real (escalar), entonces el producto kv se define como el vector cuya longitud es |k| multiplicado por la longitud de v y cuya dirección es la misma de v, si k > 0, y opuesta a la de v si k < 0. Se define kv = 0 si k = 0 o v = 0.

 

 

 

En la figura anterior se muestra la relación entre un vector v y el vector ½ v, (-1)v, 2v   y          (-3)v.

En la figura anterior se muestra la relación entre un vector v y el vector ½ v, (-1)v, 2v   y  (-3)v.

 

 

 

 Los problemas relacionados con vectores a menudo se simplifican al introducir un sistema de coordenadas rectangulares. Por el momento, el análisis se restringe a vectores en el espacio bidimensional (el plano). Sea v cualquier vector en el plano y supóngase, que se ha colocado v de manera que su punto inicial quede en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Las coordenadas (vI , v2) del punto terminal de v se llaman componentes de v, y se escribe:

v = (v1 , v2)

 

Si se colocan vectores equivalentes, v y w, de modo que sus puntos iniciales caigan en el origen, entonces es obvio que sus puntos terminales deben coincidir (supuesto que los vectores tienen la misma longitud y la misma dirección). Así entonces, los vectores tienen las mismas componentes. Es igualmente obvio que ve¡;tores con las mismas componentes deben tener la misma longitud y la misma dirección y, por consiguiente, son equivalentes. En resumen, dos vectores v y w son equivalentes si y solo si:

v = (v1 , v2)     y     w = (w1 , w2)

v1 = w1            y     v2 = w2

 

 

 

Si v = (v1 , v2) y k es un escalar cualquiera, entonces, aplicando un argumento geométrico relacionado con triángulos semejantes, se puede demostrar que:

Kv = (kv1 , kv2)

 

Ejemplo:

Suponga que v = (1,-2) y w = (7,-6)

V + x = (1,-2) + (7,6) = (1+7), (-2+6) = (8,4)

Y

4v = 4(1,-2) = [4(1), 4(-2)] = (4—8)

 

Como los vectores en el plano se pueden describir por parejas de números reales, es posible describir los vectores en el espacio tridimensional por ternas de números reales, introduciendo un sistema de coordenadas rectangulares. Para conseguir un sistema de coordenadas de este tipo, se selecciona  un punto 0, conocido como origen,  y se elijen tres rectas mutuamente perpendiculares llamadas ejes de coordenadas, que pasen por el origen, Se denominan estos ejes como x, y y z y se selecciona una dirección positiva para cada uno de ellos, así como una unidad de longitud para medir distancias. Cada par de ejes de coordenadas determinan un plano conocido como plano coordenado. Estos planos se mencionan como plano xy, plano xz y plano yz. A cada punto P en el espacio tridimensional se le asigna una terna de números (x, y, z), llamados coordenadas de P, como sigue: se pasan tres planos por P que sean paralelos a los planos coordenados, y se denotan los puntos de intersección de estos planos con os tres ejes coordenados por X, Y y Z. Las coordenadas de P se definen como las longitudes con signo

X = 0X     y = 0Y     z = 0Z

 

 

 

Si v = (v1 , v2 , v3) y w = (w1 , w2 , w3) son dos vectores en el espacio tridimensional, entonces es posible aplicar argumentos semejantes a los usados para los vectores de un plano, a fin de establecer lo siguiente:
a)      v y w son equivalentes si y solo si v1 = w1 , v2 = w2 , v3 = w3
Si v = (v1 , v2 , v3) y w = (w1 , w2 , w3) son dos vectores en el espacio tridimensional, entonces es posible aplicar argumentos semejantes a los usados para los vectores de un plano, a fin de establecer lo siguiente:

 

b)      v + w = (v1+w1 , v2+w2 , v3+w3)

c)       ky = (ky1 , ky2 , ky3), en donde k es un escalar cualquiera.

Veamos un ejemplo:

Si v = (1, -3, 2) y W = (4, 2, 1), entonces.

v + w = (5 , -1, 3)

2v = (2, -6, 4)

-w = (-4, -2, -1)

v w = v + (-w) = (-3, -5, 1)

 

-ZEUS-

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