Desarrollo de Cofactores

 

En esta ocasión tomaremos y analizaremos un método para evaluar determinantes que resultará de gran utilidad para cálculos a mano

Como consecuencia de lo que hagamos, obtendremos una fórmula para la inversa de una matriz así como otra para la solución de ciertos sistemas

de ecuaciones lineales, en términos de determinantes.

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij se denota por Mij y se define como el determinante de la

submatriz que se deja después de eliminar de A el i-ésimo renglón y la j-ésima columna. El número (-1)i+jMij se denota por Cij y se

conoce como cofactor del elemento aij.

 

Los elementos

a11 = su signo está determinado por 1 + 1 =2

a12 = 1 + 2 = 3 se cambiaría el signo

a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3  se le cambia el signo

a22 = 2 + 2 = 4

a23 = 2 + 3 = 5 se le cambia el signo

a31 = 3 + 1 = 4

a32 = 3 + 2 = 5 se le cambia el signo

 

a33 = 3 + 3 = 6

 

 

De modo que a las sumas resultantes pares se respeta el signo, en tanto que a las sumas resultantes impares se les cambiará, el arreglo quedaría como un tablero de ajedres entre signos; de la siguiente forma:

Por ejemplo:

C11 = M11 ,  C21 = -M21 ,  C12 = -M12 ,  C32 = -M32 ,  M33 = M33

det(A) = (3)(-4) – (-2)(-2) + (5)(3)

det(A) = -12 -4 +15

det(A) = -1

Este desarrollo lo hicimos tomando en cuenta la primer columna de A, multiplicándola por su respectivo menor, para obtener el determinante, esta es una opción muy válida y certera para determinantes de matrices con más de 3 renglones y 3 columnas. El procedimiento es el mismo.

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

Desarrollo de cofactores a lo largo de la j-ésima columna.

 

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

Desarrollo de cofactores a lo largo del i-ésimo renglón.

 

 

RECAPITULEMOS.

Si A es una matriz invertible, entonces

 

 

 

-ZEUS-